في الرياضيات، الدالة (الجمع: دَوَالّ) أو التابع أو الاقتران (بالإنجليزية: Function) هي كائن رياضي يمثل علاقة تربط كل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق أو مجموعة الانطلاق أو المجال {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!} بعنصر واحد وواحد فقط على الأكثر من مجموعة تدعى المستقر أو المجال المقابل أو مجموعة الوصول {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!}. أو باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية:{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y,x\mapsto f(x)\!}{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y,x\mapsto f(x)\!}
ينتج عن هذا التعريف عدة أمور أساسية:
لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق) غالبا ما تدعى {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!}.
لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق) غالبا ما تدعى {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!}.
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!} أن يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!}.
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!} أن يرتبط بعنصر واحد أو أكثر من مجموعة المنطلق {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!}.
فاذا كان المنطلق (النطاق) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل {\displaystyle x}x، فإن المستقر أو (النطاق المرافق) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة {\displaystyle f(x)\!}{\displaystyle f(x)\!}.
غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها {\displaystyle \mathbb {R} }{\displaystyle \mathbb {R} } (الدوال العددية)، أو {\displaystyle \mathbb {C} }{\displaystyle \mathbb {C} } (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.
الاقتران هو علاقة يرتبط بها كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى.
أنوع الدوال
هناك أنواع عديدة من الدوال.
الدوال الزوجية والدوال الفردية
إذا كانت دالة ما تعطي نفس النتيجة عندما تطبق على العدد وعلى مقابله، فإن هذه الدالة تسمى دالة زوجية. وإذا كانت تعطي قيمةً ما عندما تُطبق على عدد ما وتعطي مقابل هذه القيمة عندما تطبق على مقابل هذا العدد، فإن هذه الدالة تسمى دالة فردية.
الدوال الشمولية والدوال التباينية والدوال التقابلية
تكون دالة ما تقابلا، وقد يقال دالة تقابلية إذا كانت في آن واحد شمولية وتباينية. أما الدالة الشمولية فهي دالة تضمن وجود سابق لكل عنصر من عناصر مجموعة الوصول. وأما الدالة التباينية فهي كل دالة تضمن الاختلاف عند اختلاف المداخل.
إذا كانت الدالة f تقابلا، فإن لها دالة الدالة العكسية مجموعة انطلاقها هي مجموعة وصول الدالة f، ومجموعة وصولها هي مجموعة انطلاق f.
الدوال التزايدية والدوال التناقصية والدوال الرتيبة
الدوال التزايدية هن دوال تكبر قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها والدوال التناقصية فهن دوال تنقص قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها. وأما الدوال الرتيبة فهن الدوال اللائي يحافظن على ترتيب ما، أي أنهن إما تزايدية أو تناقصية وليس الصفتين معا.
الدوال الحقيقية والدوال المركبة
الدالة المركبة والدالة التحليلية
ينتج عن هذا التعريف عدة أمور أساسية:
لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق) غالبا ما تدعى {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!}.
لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق) غالبا ما تدعى {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!}.
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!} أن يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!}.
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر {\displaystyle Y\!}{\displaystyle Y\!} أن يرتبط بعنصر واحد أو أكثر من مجموعة المنطلق {\displaystyle X\!}{\displaystyle X\!}.
فاذا كان المنطلق (النطاق) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل {\displaystyle x}x، فإن المستقر أو (النطاق المرافق) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة {\displaystyle f(x)\!}{\displaystyle f(x)\!}.
غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها {\displaystyle \mathbb {R} }{\displaystyle \mathbb {R} } (الدوال العددية)، أو {\displaystyle \mathbb {C} }{\displaystyle \mathbb {C} } (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.
الاقتران هو علاقة يرتبط بها كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى.
أنوع الدوال
هناك أنواع عديدة من الدوال.
الدوال الزوجية والدوال الفردية
إذا كانت دالة ما تعطي نفس النتيجة عندما تطبق على العدد وعلى مقابله، فإن هذه الدالة تسمى دالة زوجية. وإذا كانت تعطي قيمةً ما عندما تُطبق على عدد ما وتعطي مقابل هذه القيمة عندما تطبق على مقابل هذا العدد، فإن هذه الدالة تسمى دالة فردية.
الدوال الشمولية والدوال التباينية والدوال التقابلية
تكون دالة ما تقابلا، وقد يقال دالة تقابلية إذا كانت في آن واحد شمولية وتباينية. أما الدالة الشمولية فهي دالة تضمن وجود سابق لكل عنصر من عناصر مجموعة الوصول. وأما الدالة التباينية فهي كل دالة تضمن الاختلاف عند اختلاف المداخل.
إذا كانت الدالة f تقابلا، فإن لها دالة الدالة العكسية مجموعة انطلاقها هي مجموعة وصول الدالة f، ومجموعة وصولها هي مجموعة انطلاق f.
الدوال التزايدية والدوال التناقصية والدوال الرتيبة
الدوال التزايدية هن دوال تكبر قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها والدوال التناقصية فهن دوال تنقص قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها. وأما الدوال الرتيبة فهن الدوال اللائي يحافظن على ترتيب ما، أي أنهن إما تزايدية أو تناقصية وليس الصفتين معا.
الدوال الحقيقية والدوال المركبة
الدالة المركبة والدالة التحليلية
